Ramm, A: Navier¿Stokes Problem

The main result of this book is a proof of the contradictory nature of the Navier¿Stokes problem (NSP). It is proved that the NSP is physically wrong, and the solution to the NSP does not exist on ¿+ (except for the case when the initial velocity and the exterior force are both equal to zero; in this case, the solution ¿¿¿¿(¿¿¿¿, ¿¿¿¿) to the NSP exists for all ¿¿¿¿ ¿ 0 and ¿¿¿¿(¿¿¿¿, ¿¿¿¿) = 0). It is shown that if the initial data ¿¿¿¿0(¿¿¿¿) ¿ 0, ¿¿¿¿(¿¿¿¿,¿¿¿¿) = 0 and the solution to the NSP exists for all ¿¿¿¿ ¿ ¿+, then ¿¿¿¿0(¿¿¿¿) := ¿¿¿¿(¿¿¿¿, 0) = 0. This Paradox proves that the NSP is physically incorrect and mathematically unsolvable, in general. Uniqueness of the solution to the NSP in the space ¿¿¿¿21(¿3) × C(¿+) is proved, ¿¿¿¿21(¿3) is the Sobolev space, ¿+ = [0, ¿). Theory of integral equations and inequalities with hyper-singular kernels is developed. The NSP is reduced to an integral inequality with a hyper-singular kernel.